欧几里得算法：修订间差异

2022年2月24日 (四) 17:35的版本

欧几里得算法又称辗转相除法，是求最大公约数的算法。

[math]\displaystyle{ \forall a,b, \in N,b\not = 0, gcd(a,b) = gcd(b, a \mod b) }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

若 [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math]
[math]\displaystyle{ gcd(b, a \mod b) = gcd(b, a) = gcd(a, b) }[/math] ，命题成立
若 [math]\displaystyle{ a \geq b }[/math]
不妨设 [math]\displaystyle{ a=q*b+r }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ 0 \leq r \lt b }[/math]。显然[math]\displaystyle{ r=a \mod b }[/math]。

对于 a,b 的任意公约数d，因为 [math]\displaystyle{ d|a,d|q*b }[/math]，故 [math]\displaystyle{ d|(a-qb) }[/math]，即 [math]\displaystyle{ d|r }[/math]，因此d也是b,r的公约数，反之亦成立。

故a,b的公约数集合与 [math]\displaystyle{ b,a \mod b }[/math] 的公约数集合相同。于是它们的最大公约数自然也相等。

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

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 == 证明 ==
 * 若 <math>a < b</math>
-*: gcd(b, a \mod b) = gcd(b, a) = gcd(a, b)，命题成立
+*: <math>gcd(b, a \mod b) = gcd(b, a) = gcd(a, b)</math> ，命题成立
 * 若 <math>a \geq b</math>
 *: 不妨设 <math>a=q*b+r</math>，其中 <math>0 \leq r < b</math>。显然<math>r=a \mod b</math>。